可导和连续是微积分中两个重要的概念。
连续是指函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，即函数在该点处没有断点。如果一个函数在其定义域内的每个点都连续，那么我们称这个函数是连续函数。
可导是指函数在某一点处存在导数，即函数在该点处的切线存在。如果一个函数在其定义域内的每个点都可导，那么我们称这个函数是可导函数。连续函数不一定可导，但可导函数一定是连续函数。这是因为如果一个函数在某一点处可导，那么它在该点处一定连续。但是，如果一个函数在某一点处连续，不一定存在导数，因为导数的存在需要函数在该点处有足够的平滑性。总之，连续和可导是微积分中两个不同的概念，但它们之间有一定的联系。
一元函数：可导必然连续，连续推不出可导，可导与可微等价。
对于单元函数可微和可导是相同的，但对于多元函数则不一样，多元函数中各个偏导函数连续才能推出可微，多元函数可微则可以推出各偏导存在、各个方向的方向导数存在。
关于函数的可导导数和连续的关系：
1、连续的函数不一定可导。
2、可导的函数是连续的函数。
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。
4、存在处处连续但处处不可导的函数。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右。
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扩展资料：
可导的话一定连续，但连续不一定可导。
证连续的一般方法是左极限=右极限，所以如果极限存在的话一定连续，极限存在、连续都不能推出可导。
但反之能推出，证可导的方法除了定义还就是左导-右导；反证这反面的问题很复杂要不断整理才能明白。
多元函数：可偏导与连续之间没有联系，也就是说可偏导推不出连续，连续推不出可偏导。
多元函数中可微必可偏导，可微必连续，可偏导推不出可微，但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。
可微=>可导=>连续=>可积
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导等。（仅供参考）扩展资料
可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在，可含有有限个断点。
在区间上不连续，但只存在有限个第一类间断点（跳跃间断点，可去间断点）上述条件实际上为黎曼可积条件，可以放宽，所以只是充分条件，可导必连续，连续不一定可导，即可导是连续的'充分条件，连续是可导的必要条件。
首先一下几点都是对一元函数所说的，对多元函数不一定成立：
1，连续和可导有非常明确的关系，即可导一定连续，但连续不一定可导，例如y=|x|在x=0处连续，但该点处的左右导数不相等，故不可导。关于可导一定连续，严格证明教材上都有，这里只给一个形象的解释，函数f(x)在x0处的导数f‘(x0)定义为x趋于x0时lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)，这个极限表达式中，分母已经是趋于0的了，如果极限值存在，分子也必须趋于0（否则极限为∞），从而形成极限的0/0型未定式，而这就保证了limf(x)=f(x0)，也就是f(x)在x0处连续。另外以上两条的逆否命题是“不连续一定不可导”，“不可导不一定不连续”，也是很有用的。
2，关于有界和连续，对于一般的情况，有界不一定连续（例如狄利克雷函数D(x)），连续也不一定有界（例如y=x）。有界和连续只在特殊的情况下有联系，例如对点而言，函数在某点连续则在该点的某个邻域内一定有界，这是由于在某点连续的函数在该点极限一定存在，而函数极限具有局部有界性，注意我们只能断言这样的邻域一定存在，但是邻域的范围一般是不能事先断言的。对于区间而言，在闭区间上连续的函数一定有界，而对于开区间或无穷区间，都不一定成立，例如f(x)=1/x在(0,1)上连续但无界。
3，有界和可导之间一般来说没有什么关系，有界不一定可导，可导也不一定有界。
4，注意着三个概念的定义方式，连续和可导都是“逐点”定义的，即先定义在某点处函数的连续与可导，再推广到区间，推广的方式是非常自然的，即如果在区间内每一点处函数都连续或可导，则说函数在这个区间上连续或可导。连续和可导本质上是“局部”性质的概念，而有界不同，它没有“点定义”，说函数在某点处有界是没有意义的，有界性是定义在区间上的，所以本质上是“整体”性质的概念。
5，从上面的讨论可以看出，对于闭区间来说，可导一定连续，连续一定有界，即这三个概念的强弱程度为：可导>连续>有界
函数可导与连续之间的关系，函数可导可以推出函数连续，但函数连续不可以推出函数可导，比如函数y=|x|是连续的，但在x=0处是不可导的。可导与可微之间的关系，对于一元函数，函数可导和可微是完全等价的，对于多元函数，函数可微可以推出函数可导，函数可导不可以推出函数可微。
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