实矩阵的性质 实矩阵性质

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。

正交矩阵的性质

1、逆也是正交阵

对于一个正交矩阵来说，它的逆矩阵同样也是正交矩阵。

2、积也是正交阵

如果两个矩阵均为正交矩阵，那么它们的乘积也是正交矩阵。

3、行列式的值为正1或负1

任何正交矩阵的行列式是+1或1对于置换矩阵，行列式是+1还是1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

4、在复数上可以对角化

比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。

实矩阵是一个数学概念。具体解释如下。

实矩阵指的是矩阵中所有的数都是实数的矩阵。如果一个矩阵中含有除实数以外的数，那么这个矩阵就不是实矩阵。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

实对称矩阵是指一个正方形矩阵，它的元素都是实数，且满足该矩阵的转置矩阵等于它本身。这就意味着，实对称矩阵在沿着它的主对角线翻转后，仍然是原来的矩阵。这种矩阵在数学和物理学中非常常见，它具有许多重要的性质和应用。

对于二次型、特征值和特征向量、线性代数等领域，实对称矩阵是非常重要的一类矩阵，因为它们具有许多独特的性质，如非负特征值、特征值和特征向量是实数等。

在物理学中，实对称矩阵也用于描述实物的各种性质，如力学、光学、量子力学等。因此，对于数学和物理学领域的学生和研究人员来说，了解实对称矩阵是非常必要的。

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

5.用<,>表示?上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X,Y∈?，?。

6.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：

?

7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

8.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。

9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

10.如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。

11.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵

应该是满秩的，毕竟他是实矩阵，也就是说，里面排列的满满的，所以说他是满秩的，我是这么认为，在并不知道究竟什么是实矩阵，只知道他是一个长方形的方阵，也可能是里边人排列的非常整齐。