初等函数的导数基本初等函数的导数公式

24个基本求导公式可以分成三类。第一类是导数的定义公式，即差商的极限.再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则，利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。

1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h].即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，一共有如下求导公式：

2、f(x)=a的导数，f'(x)=0,a为常数.即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。可以根据幂函数的求导公式求得。

3、f(x)=x^n的导数，f'(x)=nx^(n-1),n为正整数.即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数.这是幂函数的指数为正整数的求导公式。

4、f(x)=x^a的导数，f'(x)=ax^(a-1),a为实数.即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数.

5、f(x)=a^x的导数，f'(x)=a^xlna,a>0且a不等于1.即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积.

6、f(x)=e^x的导数，f'(x)=e^x.即以e为底数的指数函数的导数等于原函数.

7、f(x)=log_ax的导数，f'(x)=1/(xlna),a>0且a不等于1.即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积.

8、f(x)=lnx的导数，f'(x)=1/x.即自然对数函数的导数等于1/x.

9、(sinx)'=cosx.即正弦的导数是余弦.

10、(cosx)'=-sinx.即余弦的导数是正弦的相反数.

11、(tanx)'=(secx)^2.即正切的导数是正割的平方.

12、(cotx)'=-(cscx)^2.即余切的导数是余割平方的相反数.

13、(secx)'=secxtanx.即正割的导数是正割和正切的积.

14、(cscx)'=-cscxcotx.即余割的导数是余割和余切的积的相反数.

15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2).

16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2).

17、(arctanx)'=1/(1+x^2).

18、(arccotx)'=-1/(1+x^2).

最后是利用四则运算法则、复合函数求导法则以及反函数的求导法则，就可以实现求所有初等函数的导数。设f,g是可导的函数，则：

19、(f+g)'=f'+g'.即和的导数等于导数的和。

20、(f-g)'=f'-g'.即差的导数等于导数的差。

21、(fg)'=f'g+fg'.即积的导数等于各因式的导数与其它函数的积，再求和。

22、(f/g)'=(f'g-fg')/g^2.即商的导数，取除函数的平方为除式。被除函数的导数与除函数的积减去被除函数与除函数的导数的积的差为被除式。

23、(1/f)'=-f'/f^2.即函数倒数的导数，等于函数的导数除以函数的平方的相反数。

24、(f^(-1)(x))'=1/f'(y).即反函数的导数是原函数导数的倒数，注意变量的转换。

想要牢记这些基本的求导公式，一定要学会用自己的语言来描述它们，就像老黄上面所做的一样，才能把它们内化成自己的知识，在以后运用时做到得心应手。

最后以f(x)=sinx的导数f'(x)=-cosx为例，介绍它是怎么由导数的定义公式推导出来的：

f'(x)=lim(h->0)[(sin(x+h)-sin(x))/h]=lim(h->0)[2sin(h/2)cos((2x+h)/2)/h]=lim(h->0)[sin(h/2)/(h/2)]乘以lim(h->0)[cos((2x+h)/2]=lim(h->0)[cos((2x+h)/2]=cosx.

1.y=cy'=0

2.y=α^μy'=μα^(μ-1)

3.y=a^xy'=a^xlna

y=e^xy'=e^x

4.y=loga,xy'=loga,e/x

y=lnxy'=1/x

5.y=sinxy'=cosx

6.y=cosxy'=-sinx

7.y=tanxy'=(secx)^2=1/(cosx)^2

8.y=cotxy'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2

9.y=arcsinxy'=1/√(1-x^2)

10.y=arccosxy'=-1/√(1-x^2)

11.y=arctanxy'=1/(1+x^2)

12.y=arccotxy'=-1/(1+x^2)

13.y=shxy'=chx

14.y=chxy'=shx

15.y=thxy'=1/(chx)^2

16.y=arshxy'=1/√(1+x^2)

17.y=archxy'=1/√(x^2-1)

18.y=arthy'=1/(1-x^2)

2、基本初等函数包括什么

(1)常数函数y=c(c为常数)

(2)幂函数y=x^a(a为常数)

(3)指数函数y=a^x(a>0,a≠1)

(4)对数函数y=log(a)x(a>0,a≠1，真数x>0)

(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y=sinx反正弦函数：y=arcsinx等)

基本初等函数，所谓初等函数就是由基本初等函数经过有些次的四则运算和复合而成的函数。初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的并且可用一个式子表示的函数。基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数,称为非初等函数,如狄利克雷函数和黎曼函数。

lim(△x->0)[f(x+△x)g(x+△x)-f(x)g(x)]/△x

=lim(△x->0)[f(x+△x)g(x+△x)-f(x+△x)g(x)+f(x+△x)g(x)-f(x)g(x)]/△x

=lim(△x->0)f(x+△x)[g(x+△x)-g(x)]/△x+lim(△x->0)g(x)[f(x+△x)-f(x)]/△x

=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)

导数的四则运算法则（和、差、积、商）：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'vuv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

积分号下的求导法

d(∫f(x,t)dtφ(x),ψ(x))/dx=f(x,

ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)∫[f'x(x,t)dtφ(x),ψ(x)]

导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！

基本初等函数的导数表: