复数的运算(复数的乘除法运算法则)

复数的运算公式

（1）加法运算

设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。

（2）乘法运算

设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

（3）除法运算

复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi（x，y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。

设两个相除的复数分别是a＋bj，c＋dj。其中a＋bi是被除数，c＋di是除数（c与d不全为零）。按照复数除法的计算法则，（a＋bi）÷（c＋di）＝（a＋bl）（c一dj）÷√c平方＋d平方），芝√c平方＋d平方是复数c＋di的模的计算公式。一般说来，复数的模计算公式是：复数的实部平方5虚部的平方相加再开平方所得的算术平方根就是该复数的模。

１．复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成－1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2.复数的除法运算规则：

①设复数a+bi(a,b∈R),除以c+di(c,d∈R),其商为x+yi(x,y∈R),

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.

∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.

由复数相等定义可知

解这个方程组,得

于是有:(a+bi)÷(c+di)=i.

②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：

原式=(a+bi)÷(c+di)=.i

复数除法运算法则：加减法、乘除法。两个复数的和依然是复数，其实部是原来两个复数实部的和，其虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律。复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ（弧度制）推导而得。把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

复数相除的公式是：(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i。其中a、b、c、d为实数，i为虚数单位。这个公式的推导过程是通过分子有理化，然后利用分配律和i的性质进行化简得出的。这个公式可以用于求解复数的商，可以帮助我们更方便地处理复数除法的运算。同时，这个公式也展现了复数的特殊性质，为我们理解复数的运算和性质提供了重要的参考。因此，掌握复数相除的公式对于学习和应用复数都具有重要意义。