是指二个向量存在数量关系。
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearlyindependent)，反之称为线性相关(linearlydependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)线性无关。但(2,?1,1)，(1,0,1)和(3,?1,2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
对于任一向量组而言,不是线性无关的就是线性相关的。
两个共线(即平行)。
三个共面(即平行于同一平面)。
n个：存在n个不全为零的实数，分别与它们相乘后的和为零向量。
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearlyindependent)，反之称为线性相关(linearlydependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)线性无关。但(2,?1,1)，(1,0,1)和(3,?1,2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearlyindependent)，反之称为线性相关(linearlydependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)线性无关。
向量组线性相关的定义来源于对向量组线性无关的取反，而向量组线性无关的定义是向量组中没有向量可以用其它有限个向量线性组合
表示，则成为无关。
因此在向量组中并不要求任何两个向量之间都线性相关。比如向量组：（1，1，1），（1，0，1），（2，1，2），三个向量并不是线性两两线性相关，但是该组向量，线性相关。
注意事项：
两个向量集线性相关的充要条件
是其对应分量成比例，即存在k；所以a1＝ka2，所以这两个向量是线性无关的。
对于任何向量集合，它要么是线性无关的，要么是线性相关的。
如果只有一个向量a，而a是零向量
，那么a是线性相关的；如果a不等于0，那么a是线性无关的。
任何包含0向量的向量集都是线性相关的。
1.线性表示：
对于一个向量与向量组
给定n维向量组A：\alpha_{1}、\alpha_{2}、……\alpha_{m}和同维向量β，存在一组数k_{1}，……k_{m}，使得
\beta=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+……+k_{m}\alpha_{m}
称向量β可由向量组A线性表示（不要求\sum_{i=1}^{m}{}k_{i}^2\ne0)
对于两个向量组：两个向量组A、B，若A组中每一个向量都可以由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示。
2.等价向量组：若向量组A、B可以相互线性表示，则称两个向量组等价。
向量组等价具有：自反性、对称性、传递性。
3.向量组的线性相关：
对向量组A：\alpha_{1},\alpha_{2},……\alpha_{m}，如果存在不全为0的数k_{1},k_{2},……,k_{m}使得
k_{1}\alpha_{1}+……+k_{m}\alpha_{m}=0
则称向量组线性相关。
若仅当k_{1}=k_{2}=……=k_{m}=0时，上述等式才成立，则称这组向量线性无关。
4.线性相关的一些性质：
一个向量线性相关的充要条件是\alpha=0
包含零向量的向量组必线性相关
如果一个向量组的部分向量线性相关，则该向量组线性相关。
如果一个向量组线性无关，则其中任一个部分向量组线性无关。
5.向量组A=\alpha_{1},\alpha_{2},……\alpha_{m}(m≥2)线性相关的充要条件是，向量组A至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
证明思路：必要性：不妨设k_{i}\ne0，移项即可线性表示出\alpha_{i}。
充分性：\alpha_{i}=\lambda_{1}\alpha_{1}+……+\lambda_{m}\alpha_{m}移项得
\lambda_{1}\alpha_{1}+……+\lambda_{m}\alpha_{m}-\alpha_{i}=0
6.设向量组A：\alpha_{1},\alpha_{2},……\alpha_{m}线性无关，而向量组B：\alpha_{1},\alpha_{2},……\alpha_{m},\beta线性相关，则向量β一定可以由向量组A线性表示，且表示式唯一。
证明：可表性：k_{1}\alpha_{1}+……+k_{m}\alpha_{m}+k\beta=0，显然k\ne0，移项立得β的线性表示。
唯一性：假设β关于向量组A存在两种表示式，对两个式子作差，消去β，结合A的线性相关性立得。
7.n维列向量组A:\alpha_{1},\alpha_{2},……\alpha_{r}线性相关的充要条件是r(A)<r,其中矩阵A=(\alpha_{1}\alpha_{2}……\alpha_{r})。线性无关的充要条件是r(A)=r。
证明思路：
必要性：由线性相关可知：存在不全为0的数k_{1},k_{2},……,k_{r}，使得
k_{1}\alpha_{1}+……+k_{r}\alpha_{r}=0
我们不妨设k_{r}\ne0则\alpha_{r}=-\frac{k_{1}}{k_{r}}\alpha_{1}-……-\frac{k_{r-1}}{k_{r}}
则对矩阵A作列变换，一定可以使第r列变为\theta
则r(A)≤r。
充分性：我们设r(A)=s<r，一定可以通过初等列变换把A化为列梯形矩阵，即存在可逆矩阵
Q=(q_{ij})_{r\timesr}
使得AQ=(C_{n\timess}O_{n\times(r-s)})
那么我们只看上述矩阵的最后一列θ
一定有q_{1r}\alpha_{1}+q_{2r}\alpha_{2}+……+q_{rr}\alpha_{r}=\theta
且系数不全为0。
8.设A=(a_{ij})_{n\timesm}的秩r(A)=r≤m，且A的某r列（行）所组成的矩阵含有不等于0的r阶子式，则此r个列（行）向量线性无关。
证明：显。
9.向量组的任一向量均可由极大无关组线性表示，且表示方法唯一。
证明：由定理6立得。
10.向量组与它的任意一个极大无关组等价。
证明：紧扣定义，证明可以互相线性表示即可。
11.一个向量组的各个极大无关组之间是等价的。
证明：等价的传递性。
12.两个向量组等价的充要条件是一组的一个极大无关组和另一组的一个极大无关组等价。
证明：等价的传递性。
13.一个向量组的各个极大无关组所含向量的个数相同。
证明：
想摸鱼，不想码字了
14.向量组的一个极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。规定仅含零向量的向量组的秩为0。
15.等价的向量组必有相同的秩。
证明思路：
先证明若向量组A可以由向量组B线性表示，则必有r(A)≤r(B)：
即A与B的一个极大无关组分别为：\alpha_{1},\alpha_{2},……,\alpha_{r}\beta_{1},\beta_{2},……,\beta_{s}
向量组的线性相关性是指向量组中的向量之间存在线性关系。
向量组可以分为线性相关和线性无关两种情况。
线性相关的向量组称为线性相关向量组，线性无关的向量组称为线性无关向量组。
1.如果向量组线性无关，意味着向量组中的向量之间不存在非零的线性组合能够得到零向量。
也就是说，每个向量都不能表示成其他向量的线性组合。
这样的向量组可以用来表示一个线性无关的方程组，具有唯一解。
2.如果向量组线性相关，意味着至少存在一个向量能够被其他向量的线性组合表示出来，或者说存在非零的线性组合能够得到零向量。
这样的向量组无法表示一个线性无关的方程组，解不唯一。
总结起来，向量组的线性相关性与向量之间的线性关系密切相关，线性相关的向量组会导致解的不唯一，而线性无关的向量组可以用来表示唯一解的线性无关方程组。
向量的线性相关知识总结分为三部分，第一部分是向量的线性关系，第二部分是向量的。及时关系，第三部分是向量的方向关系。
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