零点存在性定理？零点存在性定理的讲解

函数零点存在定理

函数零点的存在性定理：

一.函数零点

1.零点不是点：函数y=f(x)的零点是使函数值y=0的自变量x的值。其几何意义是函数y=f(x)的图象和x轴交点的横坐标。函数零点个数就是函数与x轴交点的个数。

2.函数有零点，等价于方程y=0有解，也等价函数的图像与x轴有交点。

3.函数零点的求法：1）解方程法；2）二分法，即无限逼近法求近似解；3）超越方程用图像法。

二.零点存在性定理

函数y=f(x)在区间（a，b）是连续不断的，且f(a)f(b)<0，则函数在区间（a,b)上至少有一解。若函数y=f(x)在上述区间上单调，则函数在上述区间有且只有一解。

三.函数零点个数的确定方法及其应用

1.解方程法：直接求出方程的解；

2.图象法：令y=0，将式子变形到g(x)=h(x)，再作y=g(x)和y=h(x)的图象，两函数图象有几个交点就有几个零点。

3.利用函数图象确定字母的取值范围。

什么是零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)乘f(b）＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b)内有零点，即存在c∈（a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根

定理（零点定理

）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)×f(b)<0），那么在开区间

（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

这是零点存在的充分条件

，而不是零点存在的必要条件

。

也就是说：‘零点存在性定理’的逆命题

是假命题。

再说通俗一点：满足‘零点存在性定理’的条件时零点一定在区间（a，b）内存在；当函数在区间（a，b）内存在时，其端点的函数值的积不一定小于零。

零点存在性定理的讲解

关于零点存在性，举个例子，如下：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)乘f(b）＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b)内有零点，即存在c∈（a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

通过上面的例子，就能更加直观的了解什么叫零点存在性。

函数的零点存在性定理

（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数

f(x)；

（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数f(x)；

（3）分析函数f(x)的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间；

（4）利用零点存在性定理证明零点存在。

零点存在性定理证明过程

零点存在性定理是判断函数y=f（x）的零点是否存在的方法。其内容为：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

下面利用闭区间套定理证明该定理：

假设函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)\timesf(b)<0。对闭区间[a,b]进行一系列的二等分，得到一系列的闭区间[a_0,a_1],[a_1,a_2],\ldots,[a_{n-1},a_n]，其中a=a_0<a_1<a_2<\ldots<a_n=b。

因为函数f在闭区间[a,b]上连续，所以f在闭区间[a_i,a_{i+1}]上也连续，其中i=0,1,2,\ldots,n-1。

对于i=0，有f(a_0)\timesf(a_1)<0，根据连续函数的性质，在[a_0,a_1]上必然存在一点c_1，使得f(c_1)=0。

类似地，对于i=1,2,3,\ldots,n-1，在[a_i,a_{i+1}]上分别存在一点c_2,c_3,c_4,\ldots,c_n，使得f(c_i)=0。

因为c_1<c_2<c_3<\ldots<c_n，且函数f在闭区间[a,b]上连续，所以必然存在一点c，