求微分方程的通解 微分方程的通解怎么求

微分方程通解公式

全微分方程通解公式：udx+vdy=0。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割

微分方程的通解和特解怎么求

由于通解中带有一些不确定的常数，我们常常要根据实际的情况来加强约束来得到这些常数。

比如我们前面的例子，一个函数的图像的任意一点的斜率，等于这个函数在那一点上的x坐标值。光凭借这个条件，我们只能解出y=0.5x2+C的通解。

但如果要进一步解出C，我们就需要加强约束，比如一个通过原点函数的图像的任意一点的斜率，等于这个函数在那一点上的x坐标值。

这样我们只能令C=0，得出y=0.5x2。这里面不再有未知常数，我们称之为微分方程的特解。

微分方程的通解怎么求

关于一阶微分方程：

齐次方程使用分离变量法，把x,y挪到各自zhi一边，各自求积分

变量代换法（令u=y/x)

非齐次方程，使用公式法，y=e^(-∫p(x)dx)(c+e^(-∫p(x)q(x)dx)

还有一些特殊的，比如伯努利方程

拓展资料

二阶齐次方程，

代换法

令y'=p,则y''=pdp/dy

层层积分法，

二阶非齐次，使用公式法

形如y''+qy'+py=Q(x)

先求齐次方程通解，

先求特征根:r^2+qr+p=0

则齐次方程通解为：

c1e^(r1x)+c2e^(r2x)有两不等实根

(c1+c2x)1e^(r1x)有两等实根

e^(r1x)（c1cosr2x+c2sinr2x)有虚根r1+ir2

再求特解

如果特征根与Q(x)指数有一个相等，则可设特解为xQ(x)

如果特征根与Q(x)指数有2个相等，则可设特解为x^2Q(x)

如果特征根与Q(x)指数有没个相等，则可设特解为Q(x)

通解=特解+齐次方程解

求微分方程的通解，求详细步骤

微分方程的通解是指能够满足微分方程所有解的函数族。通解的求解过程一般包括以下几个步骤：

将微分方程转化为标准形式：将微分方程转化为形如y'+p(x)y=q(x)的标准形式，其中p(x)和q(x)是已知函数。

求出齐次方程的通解：将q(x)置为0，得到y'+p(x)y=0的齐次微分方程，然后使用常数变易法求解其通解yh(x)。

求出非齐次方程的一个特解：通过变量分离法、常数变易法、待定系数法等方法求出非齐次方程的一个特解yp(x)。

求出非齐次方程的通解：将齐次方程的通解yh(x)和特解yp(x)相加，即可得到非齐次方程的通解y(x)=yh(x)+yp(x)。

下面举一个具体的例子来说明这些步骤：

求解微分方程y'+2xy=4x。

将微分方程转化为标准形式：y'+2xy=4x。

求出齐次方程的通解：y'+2xy=0。首先将y'+2xy=0称为齐次微分方程，将其写成y'=-2xy的形式，然后将其分离变量得到dy/y=-2xdx，两边同时积分得到ln|y|=-x^2+C，其中C是常数，所以齐次方程的通解为yh(x)=Ce^(-x^2)。

求出非齐次方程的一个特解：因为q(x)=4x，所以我们猜测一个特解yp(x)=Ax+B，代入原方程得到y'+2xy=2A+4Bx，因此要满足2A+4Bx=4x，即A=2，B=0。所以非齐次方程的一个特解为yp(x)=2x。

求出非齐次方程的通解：将齐次方程的通解yh(x)=Ce^(-x^2)和非齐次方程的一个特解yp(x)=2x相加，得到非齐次方程的通解为y(x)=Ce^(-x^2)+2x，其中C是常数。

综上所述，微分方程y'+2xy=4x的通解为y(x)=Ce^(-x^2)+2x，其中C是常数。

微分方程的通解,通解是什么意思,可以举例说明吗

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解。

对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

举例说，y'=2x的通解为y=x^2+C，表示一族抛物线，如果给出初始条件y(0)=0，代入通解得到0=0+C--->C=0于是通解化作特解:y=x^2，表示一条抛物线。所以，微分方程的通解表示解曲线族，特解则表示该曲线族中的一条。