幂平均不等式？几何平均值和算术平均值的不等式

幂的基本不等式

比如a的m次方乘以a的n次方就是m个a相乘再乘以n个a相乘，这样共有(m+n)个a相乘，就是a的(m+n)次方。

同样的还可以有同底数幂相除的。幂的乘方。积的乘方等等，都是用定义就能证明的。基本性质①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y(对称性)②如果x>y，y>z；那么x>z(传递性)③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z(加法原则，或叫同向不等式可加性)4如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz(乘法原则)。

n元均值不等式的几种证明方法

1.n元均值不等式成立。

2.n元均值不等式有几种证明方法，其中一种是重心法，即通过将n个数对应的n个点看作n维空间中的点，证明这n个点的几何平均在重心之上，于是成立。

3.另外还有基于平均能力原理的证明方法、基于Jensen不等式的证明方法以及基于Cauchy-Schwarz不等式的证明方法等，这些证明方法均为算数几何平均不等式的重要推广和应用。

重要不等式的几何意义

半径不小于半弦。

以长为a+b的线段为直径作圆,在直径AB上取点C,使AC=a,CB=b。过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么,即这个圆的半径为,显然,它不小于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合;即a=b时,等号成立。

重要不等式，是指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、幂平均不等式、权方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等。

著名不等式

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

设a1，a2，…，an为n个正数时，对如下的平均不等式：H≤G≤A

当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立。

平均不等式A≥G是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。

幂平均不等式的公式

函数y=f(x)=x^(q/p)(x＞0;p≠q;p,q≠0)

值域 (0,+∞)f(x)＞0

一阶导数 (q/p)*x^((q-p)/p)

二阶导数 ((q2-pq)/p2)*x^((q-2p)/p)

p＞q＞0 图像性质凸函数

0＞p＞q 图像性质凹函数

p＞0,q＜0 图像性质凹函数

利用函数y=f(x)=x^(q/p)(x＞0;p≠q;p,q≠0)的性质结合Jensen不等式来证明幂平均不等式。

回顾Jensen不等式：

Ai≥0时且A1+A2+......+An=1

若函数f(x)是凹函数则有：

f(A1*X1+A2*X2+......+An*Xn)≤A1*f(X1)+A2*f(X2)+......+An*f(Xn)n≥1

若函数f(x)是凸函数则有：

f(A1*X1+A2*X2+......+An*Xn)≥A1*f(X1)+A2*f(X2)+......+An*f(Xn)n≥1

等号成立条件X1=X2=......=Xn

重要不等式的解释

重要不等式，是指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、幂平均不等式、权方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等。

基本信息

中文名 重要不等式

外文名 ImportantInequality

适用领域 初等与高等数学

定义

常用于计算与证明问题的不等式