矩阵共轭？矩阵a的共轭矩阵举例

矩阵的共轭怎么表示

共轭矩阵究竟如何定义取决于其中的“共轭”是如何定义的：

1.如果共轭是指“复共轭”，那么共轭矩阵就是指相应的复共轭矩阵，记为A*

2.如果共轭是指“厄米共轭”，那么共轭矩阵就是指相应的复共轭转置矩阵（一些线性代数书也会将共轭转置矩阵记为A*或A^H），在量子力学的书里会将之记成A^+

共轭是一个很泛的概念，不同书的作者会对之有不同的定义，不同的记法，目前尚无统一的定义。在具体使用的时候只需对所说的“共轭”以及相应的记号作适当的说明即可。

3.伴随矩阵有两种，这是由于不同的英文翻译成相同的中文所造成的：

Adjugatematrix，即A的余子矩阵的转置矩阵

Adjointmatrix，即A的复共轭转置矩阵，在这种翻译情况下，伴随矩阵与厄米共轭矩阵是指同一样东西。

什么是共轭矩阵

共轭矩阵又称Hermite阵，是指每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。自共轭矩阵是矩阵本身先转置再把矩阵中每个元素取共轭得到的矩阵。

两个矩阵共轭是什么意思

两个矩阵共轭就是矩阵每个元素都取共轭(实部不变,虚部取负)。转置就是把矩阵的每个元素按左上到右下的所有元素对称调换过来。共轭转置就是先取共轭,再取转置。以复数为元素的矩阵,其共轭矩阵指对每一个元素取共轭之后得到的矩阵。共轭矩阵又称Hermite阵,每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。

共轭矩阵的运算法则

第二种是标准定义，通常记做A^*或者A^H，偶尔记做A'，一般来讲A^H的写法不会有歧义。另外，A^*也经常用于记伴随矩阵，同样，用adj(A)表示A的伴随不会有歧义。A转置共轭A^H和A的伴随阵adj(A)没有直接关系。

矩阵有实数矩阵和复数矩阵。转置矩阵仅仅是将矩阵的行与列对换，而共轭转置矩阵在将行与列对换后还要讲每个元素共轭一下。共轭就是将形如a+bi的数变成a-bi，实数的共轭是它本身。

所以实数矩阵的共轭转置矩阵就是转置矩阵，复数矩阵的共轭转置矩阵就是上面所说的行列互换后每个元素取共轭

矩阵共轭运算法则

若A和B是Hermite阵，那么它们的和A+B也是Hermite阵；而只有在A和B满足交换性（即AB=BA）时，它们的积才是Hermite阵。

可逆的Hermite阵A的逆矩阵A-1仍然是Hermite阵。如果A是Hermite阵，对于正整数n，An是Hermite阵。方阵C与其共轭转置的和是Hermite阵。方阵C与其共轭转置的差是skew-Hermite阵。任意方阵C都可以用一个Hermite阵A与一个skew-Hermite阵B的和表示:Hermite阵是正规阵，因此Hermite阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着Hermite阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。

n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。

如果Hermite阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定阵。